怎样构造一个数列{Xn},使得对于任意一个实数a,都能找到{Xn}的一个子数列,而这个子数列的极限为a?

首先，我们来构造一个数列{a0(n)}，使得对于每一个在[0,1)中的实数a，都存在{a0(n)}中的子数列，使其极限为a。这是容易的，考虑十进制有限小数数列：0.1, 0.2, ..., 0.9, 0.01, 0.02, ..., 0.99, 0.001, ..., 0.999, 0.0001, ...这个数列显然符合条件。（对于无限小数，简单截断到有限位即可，对于有限小数如0.457可以写成无限小数的形式如0.456999...然后再截断）
然后，对于整数k和自然数n，我们定义b(k,n)=a0(n)+k。那么，数列{b(k,n), n为自然数}（在这个数列里k是固定的）就满足对于[k,k+1)中的任意实数a，都存在一个子数列使其极限为a。
然后就是想办法把这无穷个数列都整到一个数列里边去了。
对于k,n均为自然数，定义c(k,2n)=b(k,n)，c(k,2n+1)=b(-k,n)，显然对于任意的自然数k，所有{b(k,n), n为自然数}都是{c(|k|,n), n为自然数}的一个子数列。
然后将这些c写出来，排成一个象限的样子，然后用康托证明有理数可数的方法取这些数，得到一个数列，这个数列就符合要求了。
更严格更形式化的证明如下。
定义x((k+n)*(k+n+1)/2+n)=c(k,n)，这对于每个数来说都有定义。然后，显而易见的是，对于任意的自然数k，所有{c(k,n), n为自然数}都是{x(n)}的一个子数列。也就是说，对于任意的整数k，所有{b(k,n), n为自然数}都是{x(n)}的一个子数列。对于任意实数a，取k=[a]（小于等于a的最大整数，高斯函数），然后根据b的定义，{b(k,n), n为自然数}有一个子数列的极限是a，而{b(k,n), n为自然数}本身就是{x(n)}的一个子数列，所以这个子数列也是{x(n)}的子数列。这就是要证明的结论。

可能比较复杂（这个题目本身就很复杂……），看起来比较麻烦，但是这个证明应该是没问题的，主要用到的想法就是怎么将无限个数列拼成一个。